Математик построил многогранник, похожий на сломанную 3D-модель, и он нужен для изучения топологии и теории графов

Если вы когда-то пробовали заниматься 3D-моделированием, то помните, что лишние вершины превращают аккуратную модель в колючую мешанину из граней и рёбер, которую может быть сложно исправить.

На первый взгляд новый многогранник 3-го рода выглядит именно так. Однако перед нами не неудачный эксперимент в Blender, а совершенно новая фигура, важная для геометрии.

Математики заявили о конце эпохи – 27 лауреатов премии выступили против OpenAI

Независимый математик Руслан Мижаев нашёл способ построить восьмигранник, в котором каждая пара граней имеет хотя бы одно общее ребро. Для этого хватило набора простых координат. Данные для воспроизведения фигуры автор опубликовал в препринте на arXiv, который пока не прошёл рецензирование.

Ключевые характеристики нового многогранника:

• 8 граней, каждая соприкасается со всеми остальными

• 24 вершины, в каждой сходятся по 3 грани

• 36 рёбер

• 20 пар граней имеют одно общее ребро, ещё 8 пар – по два

• 3-й род – то есть три сквозных отверстия

Эти числа согласуются с формулой Эйлера для поверхностей с отверстиями. Для тела 3-го рода разность между числом вершин и рёбер, сложенная с числом граней, должна равняться минус четырём, и конструкция Мижаева этому условию удовлетворяет.

Чтобы понять, почему открытие привлекло внимание, стоит вспомнить, что такое многогранник. Речь идёт о трёхмерной фигуре с плоскими гранями, прямыми рёбрами и острыми вершинами, как у куба или пирамиды. Более изощрённый пример можно встретить на новогодней ёлке – некоторые звёзды-украшения повторяют форму малого звёздчатого додекаэдра, у которого 12 граней в виде пятиконечных пентаграмм.

Гораздо менее привычны тороидальные многогранники. Так называют многогранники, которые топологически устроены как тор, то есть поверхность вращения с отверстием посередине, напоминающая бублик. Самые известные примеры – многогранник Часара и двойственный ему многогранник Силаши.

Именно многогранник Силаши ближе всего к новой фигуре. У него семь граней, и каждая граничит со всеми остальными, но отверстие всего одно. Конструкция Мижаева развивает ту же идею, только граней стало восемь, а отверстий – три.

На первый взгляд такие фигуры кажутся бесполезной математикой. Однако, по словам Мижаева, они важны для теоретической математики, в частности для изучения "взаимодействия комбинаторной топологии, теории графов и трёхмерной геометрии".

Одна только разработка набора координат, определяющих положение каждой вершины, ребра и грани, требует огромной работы и глубокого понимания этих областей. Главная трудность в том, что грани должны оставаться плоскими и не пересекать друг друга, при этом каждая обязана касаться всех остальных. С ростом числа граней выполнить все условия одновременно становится всё сложнее.

Новые фигуры порой обнаруживаются и за пределами чистой математики. В 2018 году учёные описали скутоид, изучая эпителиальные клетки. Выяснилось, что именно такая необычная форма позволяет клеткам кожи плотно упаковываться и эффективно защищать организм.

Описание скутоида как новой фигуры потребовало полноценного геометрического анализа. Пока неизвестно, встречаются ли многогранные тела с отверстиями в природе. Работа Мижаева показывает, что даже внешне простое упражнение с целыми координатами способно привести к моделям, которые выглядят невозможными, но всё же существуют.